深入理解 PHP 中的浮点型

我们都知道 PHP 是一个弱类型的动态脚本语言，所谓弱类型是指不仅在声明变量时不需要指定它的类型，且运算时也不做类型验证。比如可以将一个整型和浮点数类型做加法操作。

<?php
$x = 1; // $x 是整型
$y = 1.1; // $y 浮点数
var_dump($x);
var_dump($y);

$z = $x + $y; // $z 是浮点数
var_dump($z);

// output
int(1)
float(1.1)
float(2.1)

并且上面的代码也可以注意到，在变量声明时也无需指定变量的类型，说明赋值是最简单的隐式的类型转换。然后把整型和浮点数相加得到了另一个浮点数。

在 PHP 中，对于浮点数 float 同样也代表 double 双精度和 real 实数类型，在 php.net 上有如下关于浮点数精度的说明。

浮点数的精度问题

浮点数的精度有限。尽管取决于系统，PHP 通常使用 IEEE 754 双精度格式，则由于取整而导致的最大相对误差为 1.11e-16。非基本数学运算可能会给出更大误差，并且要考虑到进行复合运算时的误差传递。 此外，以十进制能够精确表示的有理数如 0.1 或 0.7，无论有多少尾数都不能被内部所使用的二进制精确表示，因此不能在不丢失一点点精度的情况下转换为二进制的格式。这就会造成混乱的结果：例如，floor((0.1+0.7)*10) 通常会返回 7 而不是预期中的 8，因为该结果内部的表示其实是类似 7.9999999999999991118…。

那么 0.1 和 0.7 为什么转换为二进制时会产生误差呢？我们先只看 0.1 转换成二进制就好。十进制数值转换为二进制数值可以通过下面的方法：

• 整数部分：连续用该整数除以2，取余数，然后商再除以2，直到商等于0为止。然后把得到的各个余数按相反的顺序排列 － 简称”除2取余法”。
• 小数部分：十进制小数转换为二进制小数，采用”乘2取整，顺序排列”法。用2乘以十进制小数，将得到的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，然后再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为 0 或者达到所要求的精度为止。然后把取出的整数部分按顺序排列起来，即先取出的整数部分作为二进制小数的高位，后取出的整数部分作为低位有效位 － 简称”乘2取整法”。
• 含有小数的十进制数转换成二进制，整数、小数部分分别进行转换，然后相加。

0.1 没有整数部分，所以只需要对小数部分做乘2取整。

我们能看到最后永远重复 0011 的循环……

IEEE 754

PHP 浮点数使用 IEEE 754 二进制浮点数算术标准来存储。

sign：符号位（sign bit）； exponent：“指数部分”，即次高有效的e个比特，存储指数部分； fraction：最后剩下的f个低有效位的比特，存储“有效数”（significand）的小数部分。

32位单精度

单精度二进制小数，使用32个比特存储。

S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。 指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（32位的情况是127）的和。采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。单精度的指数部分是−126～+127加上偏移值127，指数值的大小从1～254（0和255是特殊值）。浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。

64位双精度

双精度二进制小数，使用64个比特存储。

S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（64位的情况是1023）的和。采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。双精度的指数部分是−1022～+1023加上1023，指数值的大小从1～2046（0（2进位全为0）和2047（2进位全为1）是特殊值）。浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。

参考IEEE 754 知道，对于单精度存储小数位至多保留23位。即 0.1 转换为二进制之后 0011 的无限循环只能保留23位，即使是双精度也只能保留52位，其余均要舍去。所以浮点数会出现精度的问题，转换结果可以根据浮点数转换工具查看。

十进制 => 二进制 => 十六进制 => 转换后浮点数 0.1 => 00111101110011001100110011001101 => 0x3dcccccd => 0.10000000149011612 0.7 => 00111111001100110011001100110011 => 0x3f333333 => 0.699999988079071

浮点数的范围和精度

浮点数计算公式如下：

sign * 2^exponent * fraction

能看出浮点数的范围是由指数的位数来决定的。单精度的浮点数指数有8位，双精度有11位。于是，单精度的指数范围为-127~+128，而双精度的指数范围为-1023~+1024，并且指数位是按补码的形式来划分的。其中负指数决定了浮点数所能表达的绝对值最小的非零数；而正指数决定了浮点数所能表达的绝对值最大的数，也即决定了浮点数的取值范围。单精度的范围为-2¹²⁸ ~ +2¹²⁸，也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38；双精度的范围为-2¹⁰²⁴ ~ +2¹⁰²⁴，也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。

浮点数的精度是由尾数的位数来决定的，且尾数是按科学计数法来存储的，如 9.2233720368548E+18。

• 单精度：2²³ = 8388608，一共7位，这意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即 float 的精度为6~7位有效数字；
• 双精度：2⁵² = 4503599627370496，一共16位，所以精度为15~16位。

整型溢出

如果给定的一个数超出了 integer 的范围，将会被解释为 float。同样如果执行的运算结果超出了 integer 范围，也会返回 float。

64 位系统下的整数溢出:

<?php
$large_number = 9223372036854775807;
var_dump($large_number);                     // int(9223372036854775807)

$large_number = 9223372036854775808;
var_dump($large_number);                     // float(9.2233720368548E+18)

$million = 1000000;
$large_number =  50000000000000 * $million;
var_dump($large_number);                     // float(5.0E+19)

整型转换为浮点数

如果整型数字的精度可以保留，则结果值是最接近原值的一个近似值，否则这个值不确定。下面代码即是精度不能保留的例子，能够看到最后的结果值是用科学计数法表示，且保留的精度是14位。

// 64位系统，PHP 5.6 / PHP 7
$int = 9223372036854775807;
$float = (float)$int;
var_dump($int);
var_dump($float);

output:
int(9223372036854775807)
float(9.2233720368548E+18)  // 能够注意到保留的精度是 14 位

浮点数转换为整型

从浮点数转换成整数时，将向下取整。

向上取整：不管四舍五入的规则 只要后面有小数前面的整数就加1 向下取整：不管四舍五入的规则 只要后面有小数忽略小数

如果浮点数超出了整数范围（32 位平台下通常为 +/- 2.15e+9 = 2³¹，64 位平台下通常为 +/- 9.22e+18 = 2⁶³），则结果为未定义，因为没有足够的精度给出一个确切的整数结果。在此情况下没有警告，甚至没有任何通知！

Warning : 决不要将未知的分数强制转换为 integer，这样有时会导致不可预料的结果。

<?php
echo (int) ( (0.1+0.7) * 10 ); // 显示 7!